8°.- Principio de Fermat

Principio de Fermat


El enunciado original del principio de Fermat decía "el camino entre dos puntos dados que recorre un rayo de luz es tal que para ese camino el tiempo que tarda la luz en recorrerlo es mínimo".


En términos más modernos, dado que los rayos de luz son sólo un modelo erróneo (aunque útil en algunos casos) de la óptica, el principio de Fermat se expresaría diciendo que "la luz, al ir de un punto a otro, sigue una trayectoria tal que el camino óptico recorrido es mínimo".


A pesar de esta corrección el principio de Fermat sigue siendo erróneo, dado que a veces la luz sigue un camino óptico máximo. Por tanto el principio se reformula a partir de la teoría variacional diciendo que "el camino óptico recorrido por la luz para ir de un punto a otro es tal que el camino óptico recorrido es estacionario respecto a las variaciones de los caminos posibles".

1.2 Formulación matemática


Matemáticamente se expresa este principio como sigue: el tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia en un medio dado es , donde es la velocidad de la luz en ese medio (suponemos que la velocidad es constante en todo el medio, sin importar la dirección de desplazamiento). Definiendo el índice de refracción como entonces


Si ahora tomamos un medio en el que el índice de refracción depende de la posición entonces podemos estimar que una distancia diferencial se recorre en un tiempo , siendo el tiempo total en recorrer el camino entre un punto y otro la cantidad










Con lo cual el principio de fermat radica en encontrar los valores extremos de la función: